Vous avez une équation dans mathbb{C} comportant uniquement overline{z}, le complexe conjugué de z, comme inconnue ? Vous cherchez à comprendre comment résoudre cette équation ? Dans cet article, nous allons vous expliquer comment procéder pas à pas pour trouver la solution. Nous verrons comment isoler l’inconnue et résoudre l’inéquation puis déduire la valeur de z. Nous espérons que ce blog post vous aidera à comprendre et à appliquer la méthode de résolution de cette équation. Alors, prêt pour découvrir comment résoudre l’équation dans mathbb{C} ? Allons-y !
L’espace complexe, noté mathbb{C}, est le cadre de nombreuses opérations mathématiques. Une des manipulations les plus courantes est la résolution d’une équation du premier degré comportant uniquement overline{z}, le complexe conjugué de z, comme inconnue. Dans cet article, nous allons voir comment résoudre une telle équation et obtenir la valeur de z à partir de celle de overline{z}.
1. Résoudre une équation dans l’espace complexe
Dans l’espace complexe mathbb{C}, les équations du premier degré peuvent prendre des formes variées. La plus courante est celle où l’on cherche à trouver le complexe conjugué overline{z} à partir de z, la variable inconnue. Cette équation peut s’écrire sous la forme :
z + overline{z} = a, où a est un nombre complexe connu.
Pour résoudre cette équation, il faut isoler l’inconnue overline{z}. Pour cela, on procède de la même manière qu’avec les équations du premier degré dans mathbb{R}. On commence par soustraire z à chaque membre de l’équation :
overline{z} = a – z
On obtient ainsi une expression de overline{z} en fonction de z. Pour trouver la valeur de overline{z}, il faut donc résoudre l’inéquation obtenue en remplaçant z par sa valeur inconnue.
2. Isoler et résoudre l’inconnue dans l’équation
Pour résoudre l’inéquation, on commence par isoler l’inconnue z. Pour cela, on divise chaque membre de l’équation par a :
z = frac{a – overline{z}}{a}
On obtient ainsi une expression de z en fonction de overline{z}. Pour trouver la valeur de z, il faut donc résoudre l’inéquation obtenue en remplaçant overline{z} par sa valeur inconnue.
Pour cela, on commence par écrire l’inéquation sous la forme overline{z} < b, où b est le nombre complexe connu. En remplaçant overline{z} par sa valeur inconnue, on obtient :
frac{a – overline{z}}{a} < b
On peut maintenant résoudre l’inéquation en développant le membre de gauche et en réarrangeant les termes :
overline{z} < a – ab
On obtient ainsi la solution de l’inéquation, qui est de la forme overline{z} < c, où c est le nombre complexe connu.
3. Obtenir la valeur de z à partir de celle de overline{z}
Une fois la solution de l’inéquation obtenue, on peut déduire la valeur de z à partir de celle de overline{z}. Pour cela, il suffit de remplacer overline{z} dans l’expression de z que l’on a obtenue précédemment :
z = frac{a – overline{z}}{a}
En remplaçant overline{z} par sa valeur connue, on obtient :
z = frac{a – c}{a}
On obtient ainsi la valeur de z. On peut alors vérifier que l’équation initiale est bien vérifiée en remplaçant z et overline{z} par leurs valeurs respectives dans l’équation :
z + overline{z} = frac{a – c}{a} + c = a
On obtient bien le nombre complexe connu a, ce qui confirme que l’équation est bien résolue.
Nous avons vu dans cet article comment résoudre une équation du premier degré comportant uniquement overline{z}, le complexe conjugué de z, comme inconnue. On commence par isoler l’inconnue overline{z} de manière habituelle, on résout l’inéquation puis on déduit la valeur de z à partir de celle de overline{z}. Cette méthode est très utile pour résoudre des équations dans l’espace complexe mathbb{C}.
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